高斯公式（散度定理）

高斯公式详解

高斯公式（散度定理）是矢量分析的基本定理：

∯_∂Ω F·dS = ∭_Ω div F dV

矢量场F通过闭合曲面∂Ω的通量，等于F的散度在Ω内的体积分。

散度：div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z，其中F=(P,Q,R)。

物理意义：散度表示矢量场在某点的"源"强度。正散度=源（流出），负散度=汇（流入），散度为0=无源场。

使用条件：F在Ω内有一阶连续偏导数，∂Ω取外侧。

常见问题

Q：高斯公式和格林公式什么关系？

A：高斯公式是三维的散度定理，格林公式是二维的。高斯公式在二维退化就是格林公式。

Q：曲面不闭合能用高斯公式吗？

A：需要补面使其闭合，用高斯公式后减去补面的积分。注意补面的法向量方向。

Q：散度为0意味着什么？

A：无源场，通过任意闭合曲面的通量为0（如磁场、不可压缩流体的速度场）。